Este tipo de problemas van a ser muy comunes a lo largo de la materia, y vas a ver que, en general, vamos a arrancar a resolver el problema igual que lo hubiéramos hecho si no estaba la $a$ ahí, vamos a llegar a un resultado (que probablemente dependa de $a$) y ahí recién, al final, le vamos a pedir a ese resultado que valga $2$, y despejamos $a$ =)

Entonces arranquemos calculando este límite:

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2} + ax + 1} - 1}{x} $

Sustituimos $x$ por $0$ y... si, es una indeterminación "0/0". Este problema sale fácilmente cuando veamos la Regla de L'Hopital. Te muestro acá como podrías salvar la indeterminación sin usarla. 

Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador: $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2} + ax + 1} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + ax + 1} + 1}{\sqrt{x^{2} + ax + 1} + 1} $

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x^{2} + ax + 1) - 1}{x(\sqrt{x^{2} + ax + 1} + 1)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} + ax}{x(\sqrt{x^{2} + ax + 1} + 1)} $ Arriba sacamos factor común \( x \) y la podemos simplificar con la $x$ del denominador, nos quedaría esto: $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + a}{\sqrt{x^{2} + ax + 1} + 1} $ Si ahora sustituimos \( x = 0 \) al tomar límite notamos que se nos fue la indeterminación y nos da... $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + a}{\sqrt{x^{2} + ax + 1} + 1} = \frac{a}{2} $ Como el enunciado nos pedía que el límite sea igual a 2, planteamos: $ \frac{a}{2} = 2 $ $ a = 4 $ Entonces, el valor de \( a \) para el cual el límite dado es igual a 2 es \( a = 4 \).